罗素悖论理发师
1、冯·诺依曼等开辟集合论的另一公理化的NBG系统也克服了悖论，但仍存在一些问题.以后加上哥德尔K.Godel)和科恩(Cohen)等的努力，到1983年建立了公理化集合论，即要求集合必须满足ZFG公理系统中的十条公理限制，成功地排除了集合论中的悖论。
2、理发师突然发现自己非常尴尬。因为他如果回答给自己刮胡子，他就是第一类人，按照他的规矩就不应该给自己刮胡子；而如果他不给自己刮胡子，他就是第二类人，按照规矩他又应该给自己刮胡子。
3、这种“明白”绝大部分还都只局限在日常生活的范围之中。
4、若S不属于自身，那么S就满足集合所规定的元素性质，它应该属于自身S。(罗素悖论理发师)。
5、罗素悖论:集合可分为“不以自己为元素的集合”和“以自己为元素的集合”两类。
6、所以正整数集合和正偶数集合元素个数是一样多的。
7、1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，而且很快渗透到大部分数学分支，并成为它们的基础。但到了19世纪末，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素悖论的提出，使数学的基础动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。
8、当然了，理发师悖论有他的特殊性，不是他本身有什么特殊，而是他被罗素进一步抽象成为一般形式的罗素悖论，一个不包含自身的集合的集合，到底是否包含自身？
9、所以，语言并不需要严谨，能让对方听懂就行了。
10、当然，他也可以选择不给自己理发，就看他高兴呗。
11、有人说你这没有解决悖论啊，你只是规定不让人家说而已？
12、可问题是，语言的演化可不是为了什么“真理”呀，只是为了自己吃饱并且不被别的动物吃而已。
13、不完备定理表明，任何所谓严密形式体系都不是天衣无缝的，没有哪个重要的部门能保证自己没有内在矛盾，人的智慧源泉不能被完全公理化；新的证明原则等待我们去发现或发明，某些被认可的数学哲学应重新评价，其中有的会被更新或废弃。这种认识论上的飞跃为我们开拓了广阔的视野。
14、推理如下：如果他不给自己刮脸，那么，他属于“自己不刮脸”的那一类村民，按规定，他必须给自己刮脸，所以他可以做将为自己刮脸的行为直至为自己刮脸。在理发师为自己刮脸后，他已经属于“自己刮脸”的那一类村民，按规定从此他不应再给自己刮脸了。这样理发师可以从“不给自己刮脸的人”自然合理地转换成为“给自己刮脸的人”。
15、我们通常希望：任给一个性质，满足该性质的所有类可以组成一个类。但这样的企图将导致悖论：
16、如果不能，那么他就不是全能的；如果能，那么他举不起这块石头，所以也不是全能的。
17、理发师悖论与罗素悖论是等价的：如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。
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19、在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。
20、这个悖论本身其实倒没什么，想把话说明白就多说两句。
21、但是，从集合论诞生的那一天起，针对集合论的诘难和各种悖论的出现就从没有停止过。尤其以1902年罗素悖论最为有名。数学家们只享受了集合论带来的短暂的祥和，就又陷入了一种无法解决的危机之中，这就是第三次数学危机。
22、这些系统都可以避免罗素悖论，但原理其实是一样的，那就是“好好把话说全了”。
23、以至于当发现“一个可以推导出两个自相矛盾结论的命题”时，还大惊小怪地命名为“悖论”。
24、解决这一悖论主要有两种选择，ZF公理系统和NBG公理系统。策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。这一公理系统在通过弗兰克尔的改进后被称为ZF公理系统。
25、这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先，他应该给自己理发。反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不给自己理发的人理发，他不能给自己理发。
26、它似乎是可以早些到来的，因为历史上的数学悖论早已发现且不计其数。例如，古希腊时代欧布利德或古罗马哲学家、政治家西塞罗(公元前106～前43)的“谷堆悖论”，德国哲学家黑格尔的“秃头悖论”，意大利伽利略的“自然数等于完全平方数悖论”，德国数学家施瓦兹(1843～1921)在1880年提出的“施瓦兹悖论”。这些悖论没有能引起“危机”的原因在于，数学家们对自己不够自信，因为类似“悖论”这类问题，在数学中比比皆是，不值得一提。没有引起“危机”的第二个原因在于，其中有的悖论已被“克服”，既已克服，便不存在“危机”。例如古希腊数学家芝诺(约公元前496～前429)提出的四个悖论——其一是众所周知的古希腊神话中善跑的英雄阿基里斯永远追不上乌龟的悖论，在19世纪已经得到解决；有的则未能引起足够的注意。因此在20世纪之前，这一“危机”没有到来。
27、明信片悖论、理发师悖论、罗素悖论中事件的前提是可以接受的前提。之前对这四个悖论题进行的推理是没有在现实空间的时间关系中进行的推理，是与现实不符的推理，是不可接受的推理。
28、实际应用中，我们同样可以通过规定来规避他，但是，他揭示了一个至关重要的问题，那就是康托尔集合论的不完备性。
29、什么是集合呢？所谓集合，是由某些确定的元素构成的整体。例如：
